라플라스 변환

정의¶

라플라스 변환(Laplace transformation)은 실변수 함수를 복소변수 함수로 선형 변환하는 것을 의미한다.

\mathcal L : \{ f | f: \mathbb R \to \mathbb C \} \rightarrow \{ f | f: \mathbb C \to \mathbb C \}

(1)

라플라스 변환은 아래의 적분식으로 정의할 수 있다. 즉, 지수감쇠함수 $e^{-st}$ 를 곱한 후 적분한 것이 라플라스 변환 함수가 된다.

F(s) = \mathcal{L}[f](s) \equiv \int_0^\infty e^{-st} f(t)\, dt

(2)

$s$ 는 복소수 변수로 실수부 $\Re ( \sigma )$ 와 허수부 $\Im ( \omega )$ 로 이루어진다.

라플라스 변환을 통해 변수의 정의역은 실수에서 복소수로 바뀐다. 주로, 시간 또는 공간을 정의역으로 가지는 함수를 다른 차원의 변수로 바꾸기 위해 사용하는데, 이를 통해 원래 함수 공간에서 풀기 어려운 문제가 쉬운 문제로 바뀌기 때문에 사용한다.

직관적 이해¶

감쇠가중함수 $e^{-st}$ 는 $s$ 가 양수일 때 시간이 지날수록 급격히 감소하는 감쇠 가중치 역할을 한다. 즉, 어떤 함수에 주파수의 크기에 따라 지수적으로 감소하는 가중치를 곱한 후 그 평균을 냄으로써, 각각의 주파수 성분이 함수의 변환 성질을 얼마나 가지고 있는지를 측정할 수 있는 도구가 된다.

F(s) = \int_0^\infty \underbrace{e^{-st}}_{\text{감쇠 가중치}} \cdot \underbrace{f(t)}_{\text{원함수}}\, dt

(3)

이 적분을 통해, 함수 $f(t)$ 에 대해 주파수의 크기를 보여주는 단위인 $s$ 를 바꿔가며 이 값을 전부 모으면, 원함수 $f(t)$ 의 정보를 완전히 다른 형태로, 손실 없이 인코딩할 수 있다.

활용¶

라플라스 변환의 핵심 성질은 미분이 곱셈으로 바뀐다는 것이다. 원함수 $f$ 의 1계 도함수를 라플라스 변환하면,

\mathcal{L}[f'(t)](s) = sF(s) - f(0)

(4)

로 바뀌고, 2계 도함수를 변환하면

\mathcal{L}[f''(t)](s) = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)

(5)

로 바뀐다. 특정 실변수의 변환(시공간 개념에 해당)이라는 성질을 사칙연산이 가능한 대수방정식으로 바꿔주기 때문에 연산이 쉬워지고 따라서 시공간의 변환에 관한 복잡한 문제를 쉽게 풀 수 있게 된다.

역변환¶

라플라스 변환은 아래의 공식을 통해 역변환이 가능하다.

f(t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty} e^{st} F(s)\, ds \quad (\text{Bromwich 적분, 복소적분})

(6)

역변환 공식을 통해 복소변수 함수 $F(s)$ 의 실변수 함수 $f(t)$ 를 복원할 수 있고, 이 $f(t)$ 는 유일하다. (단사성)

확률론에서 활용 : 적률생성함수¶

확률밀도함수 $f(x)$ 의 라플라스 변환은 아래와 같다.

\mathcal L [f(x)] = \int_0^{\infty} e^{sx} f(x) dx = \mathbb E(e^{sx})

(7)

이는 적률생성함수를 $M_X(-s)$ 형태로 바꾼 것과 같다. 즉, 라플라스 변환의 속성과 연관지어 생각하면, 시공 영역의 함수를 복소수 영역으로 변환하는 속성이 확률변수의 함수를 $t$ 의 영역으로 변환하는 속성과 연결된다. 따라서, 고차원의 적률(moment)을 복잡한 대수적 연산을 하지 않고 상대적으로 간단한 미분 연산으로 구할 수 있다. 또한, 분포함수와 적률생성함수는 라플라스 변환의 관계를 가지기 때문에(단사성) 하나의 분포에는 하나의 적률생성함수만이 존재하는 유일성(uniqueness)이 성립한다.