분해정리 factorization theorem

충분통계량의 성질을 이용하여 증명하는 경우 추정통계량 $Y$ 의 분포를 직접 대입하여 정리하는 번거로운 과정을 거쳐야 하지만, 분해정리를 이용하는 경우 $Y$ 의 분포에 대한 정보없이 결합확률밀도함수만을 이용하여 증명할 수 있기 때문에 충분통계량 증명 문제가 간결해진다.

관련 예제¶

$(X_1, X_2, \cdots , X_n)$ 의 결합확률밀도함수는 다음과 같다.

\begin{aligned} \prod_{i=1}^n f(x_i;\theta) &= \prod_{i=1}^n \theta^{x_i} (1-\theta)^{1-x_i} \\ &= \theta^{\sum x_i} (1-\theta)^{n-\sum x_i} \\ &= \underset{ = \theta^{\sum x_i} (1-\theta)^{n-\sum x_i}} {\boxed{g(\sum x_i ; \theta)}} \underset{=1}{\boxed{h(x_1, \cdots, x_n)}} \end{aligned}

(2)

따라서, 분해정리에 의해 통계량 $Y = \sum X_i$ 는 모수 $\theta$ 에 대한 충분통계량이다. $\blacksquare$