4주차 강의 문제풀이 : 미분

6번 슬라이드¶

\frac d {dx} (f \pm g) = \frac d {dx} f \pm \frac d {dx} g

(1)

위 식을 증명하기 위해 좌변의 미분계수의 극한값을 구해서 정리하면 다음과 같다.

\begin{aligned} \frac d {dx} (f \pm g) &= \lim_{h \to 0} \frac {(f \pm g)(x+h) - (f \pm g)(x)} h \\ &= \lim_{h \to 0} \frac {f(x+h) - f(x)} h \pm \lim_{h \to 0} \frac {g(x+h) - g(x)} h \\ &= \frac d {dx} f \pm \frac d {dx} g \end{aligned}

(2)

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7번 슬라이드¶

$y = x^n$ 일 때, $y' = nx^{n-1}$ 임을 증명하자.

(1) $n \in \mathbb N$ 인 경우

\begin{aligned} y' &= \lim_{h \to 0} \frac {(x+h)^n - x^n} h \\ &= \lim_{h \to 0} \frac {nx^{n-1}h + _nC_2x^{n-2}h^2 + _nC_3x^{n-3}h^3 + \cdots + _nC_{n-1}xh^{n-1} + h^n} h \\ &= \lim_{h \to 0} (nx^{n-1} + _nC_2x^{n-2}h + _nC_3x^{n-3}h^2 + \cdots + _nC_{n-1}xh^{n-2} + h^{n-1}) \\ &= nx^{n-1} \end{aligned}

(3)

(2) $n \in \mathbb Z$ 인 경우

$k = -n$ 이라 하면, $y = x^{-k} = \frac 1 {x^k}$ 이므로, (1)에서 구한 결과를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.

\begin{aligned} \frac d {dx} x^{-k} &= \frac d {dx} \frac 1 {x^k} \\ &= \frac d {dx} (x^{-k}) \\ &= -kx^{-k-1} \\ &= nx^{n-1} \end{aligned}

(4)

(3) $n \in \mathbb R$ 인 경우

$x^n = e^{n \ln x}$ 라고 할 때, $y = n \ln x$ , $z = e^y$ 라고 정의하면 $\frac d {dx} x^n$ 을 다음과 같이 구할 수 있다.

\begin{aligned} \frac d {dx} x^n &= \frac d {dx} e^{n \ln x} \\ &= \frac d {dx} z \\ &= \frac {dz} {dy} \cdot \frac {dy} {dx} \\ &= e^y \cdot \frac n x \\ &= nx^{n-1} \end{aligned}

(5)

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8번 슬라이드¶

예제1¶

접선의 방정식은 $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ 이므로, $f(x) = x^2 - 2x + 1$ 의 $(1, 0)$ 에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

f'(x) = 5x - 2 \\ \Rightarrow y = f(1)(x-1) + f(1) = 3(x-1) + 0 = 3x - 3

(6)

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예제2¶

(1) $y = f(x) = (x^3 + x -1)(x^5-x^3+1)$

\begin{aligned} y' &= (x^3 + x -1)'(x^5-x^3+1) + (x^3 + x -1)(x^5-x^3+1)' \\ &= (3x^2 + 1)(x^5-x^3+1) + (x^3 + x -1)(5x^4-3x^2) \\ &= (3x^7 - 2x^5 - x^3 + 3x^2 + 1) + (5x^7 + 2x^5 - 5x^4 - 3x^3 + 3x^2) \\ &= 8x^7 - 5x^4 - 4x^3 + 6x^2 + 1 \end{aligned}

(7)

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(2) $y = f(x) = \frac {x^3 -1} {x+1}$

\begin{aligned} y' &= \frac {(x^3 -1)'(x+1) - (x^3 -1)(x+1)'} {(x+1)^2} \\ &= \frac {3x^2(x+1) - (x^3 -1)(1)} {(x+1)^2} \\ &= \frac {3x^3 + 3x^2 - x^3 + 1} {(x+1)^2} \\ &= \frac {2x^3 + 3x^2 + 1} {(x+1)^2} \end{aligned}

(8)

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10번 슬라이드¶

$x^2 + y^2 = 0$ 일 때, 미분값은 다음과 같이 구할 수 있다.

\begin{aligned} \frac d {dx} (x^2 + y^2) &= \frac d {dx} 0 \\ \frac d {dx} x^2 + \frac d {dx} y^2 &= 0 \\ 2x + 2y \cdot \frac {dy} {dx} &= 0 \\ \Rightarrow \frac {dy} {dx} = -\frac x y \end{aligned}

(9)

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15번 슬라이드¶

롤의 정리(Rolle’s theorem)

f가 [a, b]에서 연속이고 (a, b)에서 미분 가능할 때, f(a) = f(b)이면

\exists c \in (a, b) \ \text{s.t.} \ f'(c) = 0

(10)

주어진 구간에서 f의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라고 하자.

(1) M = m인 경우

f는 상수함수이므로, 모든 c에 대해 f’(c) = 0이다.

(2) M $\neq$ m인 경우

f(a) = f(b)이기 때문에 M, m 중 적어도 하나는 (a, b) 구간에서 달성이 가능하다.

만약 c에서 M이 달성되는 경우, $\forall h \in [a, b]$ 에 대해 $f(c + h) - f(c) \leq 0$ 인데,

(i) $h > 0$ 이면,

\begin{aligned} \frac {f(c + h ) - f(c)} h &\leq 0 \\ \ \\ \Rightarrow \lim_{h \to 0} \frac {f(c + h) - f(c)} h &\leq 0 \\ \ \\ \Rightarrow f'(c) &\leq 0 \end{aligned}

(11)

(ii) $h < 0$ 이면,

\begin{aligned} \frac {f(c + h ) - f(c)} h &\geq 0 \\ \ \\ \Rightarrow \lim_{h \to 0} \frac {f(c + h) - f(c)} h &\geq 0 \\ \ \\ \Rightarrow f'(c) &\geq 0 \end{aligned}

(12)

(i)과 (ii)를 종합하면, $f'(c) = 0$ 임을 알 수 있다.

만약 c에서 m이 달성되는 경우에는 $\forall h \in [a, b]$ 에 대해 $f(c + h) - f(c) \geq 0$ 임을 이용하여 유사한 과정을 통해 $f'(c) = 0$ 임을 증명할 수 있다.

이것으로 롤의 정리는 증명되었다.

롤의 정리를 바탕으로, 아래의 평균값 정리를 증명할 수 있다.

f가 [a, b]에서 연속이고 (a, b)에서 미분 가능할 때,

\exists c \in (a, b) \ \text{s.t.} \ f'(c) = \frac {f(b) - f(a)} {b - a}

(13)

함수 [a, b]에서 연속이고 (a, b)에서 미분 가능한 함수 h를 다음과 같이 정의하자.

h(x) = f(x) - \frac {f(b) - f(a)} {b - a} (x - a)

(14)

이때, a, b점에서의 h의 함수값은 다음과 같다.

\begin{aligned} h(a) &= f(a) - \frac {f(b) - f(a)} {b - a} (a - a) = f(a) \\ h(b) &= f(b) - \frac {f(b) - f(a)} {b - a} (b - a) = f(b) - (f(b) - f(a)) = f(a) \end{aligned}

(15)

$h(a) = h(b)$ 이므로, h함수는 롤의 조건을 만족한다. 롤의 정리에 의해 $\exists c \in (a, b) \ \text{s.t.} \ h'(c) = 0$ 이므로, 다음과 같이 정리할 수 있다.

h'(c) = f'(c) - \frac {f(b) - f(a)} {b - a} = 0\\ \ \\ \Rightarrow f'(c) = \frac {f(b) - f(a)} {b - a}

(16)

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16번 슬라이드¶

페르마의 정리란 $y = f(x)$ 가 x = c에서 극값을 가질 때, $f'(c) = 0$ 임을 말한다.

(1) $f(c)$ 가 극대값인 경우,

\begin{aligned} \exists \delta > 0 \ \text{s.t.} \ | x - c | < \delta \\ \Rightarrow f(x) \leq f(c) \end{aligned}

(17)

(i) $h > 0$ 인 경우,

\begin{aligned} \frac {f(c + h) - f(c)} h &\leq 0 \\ \ \\ \Rightarrow \lim_{h \to 0} \frac {f(c + h) - f(c)} h &\leq 0 \\ \ \\ \Rightarrow f'(c) \leq 0 \end{aligned}

(18)

(ii) $h < 0$ 인 경우,

\begin{aligned} \frac {f(c + h) - f(c)} h &\geq 0 \\ \ \\ \Rightarrow \lim_{h \to 0} \frac {f(c + h) - f(c)} h &\geq 0 \\ \ \\ \Rightarrow f'(c) \geq 0 \end{aligned}

(19)

(i), (ii)를 종합하면, $f'(c) = 0$ 임을 알 수 있다.

(2) $f(c)$ 가 극소값인 경우에도 유사한 과정을 통해 $f'(c) = 0$ 임을 증명할 수 있다.

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18번 슬라이드¶

뉴턴-랩슨 방법을 이용한 수열이 수렴한다고 할 때에, 극한값이 f의 근이 된다는 점은 아래와 같이 증명할 수 있다.

\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} a_{n+1} &= \lim_{n \to \infty} \big( a_n - \frac {f(a_n)} {f'(a_n)} \big) \\ &= \lim_{n \to \infty} a_n - \frac {f(\lim_{n \to \infty} a_n)} {f'(\lim_{n \to \infty} a_n)} \\ &= \alpha - \frac{f(\alpha)}{f'(\alpha)} = \alpha \end{aligned}

(20)

따라서, $f'(\alpha) \neq 0$ 인 조건 하에서 위 식이 성립하기 위해서는 $f(\alpha) = 0$ 이어야 한다.

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19번 슬라이드¶

(1,1), (2,2.1), (3, 2.9), (4, 4.1)을 가장 가까운 거리에서 지나는 추세선의 방정식은 아래와 같이 구할 수 있다.

먼저, 네 점을 가장 가까운 거리에서 지나는 직선을 $y = ax + b$ 라고 하면, 네 점과 직선 사이의 거리의 제곱합의 함수 L을 다음과 같이 정의할 수 있다.

L(a, b) = \sum_{i=1}^4 (y_i - (ax_i + b))^2

(21)

위 함수 L을 최대화하는 a, b의 값을 구하기 위해 L의 a, b에 대한 편미분값이 0이 되는 지점을 다음과 같이 계산할 수 있다.

(1) a에 대한 편미분값이 0기 위한 조건

\begin{aligned} \frac {\partial L} {\partial a} &= \sum 2(y_i - (ax_i + b))(-x_i) \\ &= -2 \sum x_i y_i + 2a \sum x_i^2 + 2b \sum x_i = 0 \end{aligned}

(22)

(2) b에 대한 편미분값이 0이기 위한 조건

\begin{aligned} \frac {\partial L} {\partial b} &= \sum 2(y_i - (ax_i + b))(-1) \\ &= -2 \sum y_i + 2a \sum x_i + nb = 0\\ \Rightarrow b &= \frac 1 n \sum y_i - a \frac 1 n \sum x_i = \bar y - a \bar x \end{aligned}

(23)

위 두 개의 식을 풀기 위해 b값을 a의 식에 대입하여 정리하면,

-2 \sum x_i y_i + 2a \sum x_i^2 + 2(\bar y - a \bar x) \sum x_i = 0 \\ \ \\ \Rightarrow a = \frac {\sum x_i y_i - n \bar x \bar y} {\sum x_i^2 - n \bar x^2}

(24)

a와 b의 값을 찾기 위해 $\sum x_i y_i$ , $\sum x_i^2$ , $\bar x$ , $\bar y$ 의 값을 구하여 대입하면 a = 1.04, b = -0.05이므로, 추세선은 $y = 1.04x - 0.05$ 가 된다.

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23번 슬라이드¶

예제7¶

$f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$ 라고 할 때, $f'(x)$ 는 다음과 같다.

\begin{aligned} f'(x) &= 2 \sin x \cdot \cos x - 2 \sin x \cdot \cos x \\ &= 0 \end{aligned}

(25)

$f'(x) = 0$ 이므로, $f(x)$ 는 모든 x에 대해 변화가 없는 상수함수이다.

한편, $x=0$ 을 대입했을 때,

f(0) = \sin^2 0 + \cos^2 0 = 0 + 1 = 1

(26)

따라서, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 이다.

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24번 슬라이드¶

예제9¶

선형근사란 미분계수의 정의를 이용하여 $\Delta y$ 의 근사값을 구하는 방법이다. 도함수는 다음과 같이 미분계수의 근사값으로 표현할 수 있다.

f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(a + \Delta x) - f(a)} {\Delta x} \approx \frac {f(a + \Delta x) - f(a)} {\Delta x}\\ \ \\ \Rightarrow \Delta y = f(a + \Delta x) - f(a) \approx f'(a) \cdot \Delta x

(27)

따라서, $\Delta x$ 가 충분히 작으면 $\Delta y$ 는 $f'(a) \cdot \Delta x$ 로 근사할 수 있다.

이상의 성질을 이용하여 $\sqrt {3.98}$ 의 근사값을 다음과 같이 구할 수 있다.

$f(x) = \sqrt x$ 라고 정의하면, $f'(x) = \frac 1 {2 \sqrt x}$ 이므로,

\begin{aligned} \sqrt {3.98} - \sqrt 4 &\approx f'(4) \cdot (3.98 - 4) = \frac 1 {2 \sqrt 4} \cdot (-0.02) = -0.005 \\ \Rightarrow \sqrt {3.98} &\approx \sqrt 4 - 0.005 = 1.995 \end{aligned}

(28)

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예제10¶

$f(x) = x^2 -x-1$ 이라고 할 때, $f(x) = 0$ 의 해를 근의 공식에 따라 대입하면 다음과 같이 구할 수 있다.

\begin{aligned} x &= \frac {-(-1) \pm \sqrt {(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}} {2 \cdot 1} \\ &= \frac {1 \pm \sqrt 5} 2 \end{aligned}

(29)

따라서, 구하고자 하는 $\frac {1 + \sqrt 5} 2$ 의 근사값은 $f(x) = 0$ 의 해를 근사하여 구할 수 있다. 뉴턴-랩슨 방법을 이용하기 위해 $a_1 = 1.5$ 로 정하면 $\{a_n\}$ 을 다음과 같이 구할 수 있다.

\begin{aligned} a_{2} &= a_1 - \frac {f(a_1)} {f'(a_1)} \\ &= 1.5 - \frac {(1.5)^2 - 1.5 -1} {2(1.5) - 1} \\ &= 1.5 - \frac {2.25 - 1.5 -1} {3 - 1} \\ &= 1.5 + \frac {0.25} {2} \\ &= 1.5 + 0.125 \\ &= 1.625 \end{aligned}

(30)

\begin{aligned} a_{3} &= a_2 - \frac {f(a_2)} {f'(a_2)} \\ &= 1.625 - \frac {(1.625)^2 - 1.625 -1} {2(1.625) - 1} \\ &= 1.625 - \frac {2.640625 - 1.625 -1} {3.25 - 1} \\ &= 1.625 - \frac {0.015625} {2.25} \\ &= 1.625 - \frac 1 {144} \\ &\approx 1.625 - 0.006944 \\ &\approx 1.618056 \end{aligned}

(31)

한편, 실제 $\frac {1 + \sqrt 5} 2$ 의 값은 약 1.618033이므로, $a_3$ 의 값이 $\frac {1 + \sqrt 5} 2$ 의 근사값으로 충분히 근접함을 알 수 있다.

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