누적분포함수

정의¶

누적분포함수는 다음과 같은 성질을 개념 요소로 가진다. 즉, 아래의 세 가지 요건을 만족하는 함수는 누적분포함수로 간주할 수 있다.

확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 존재할 때, 확률밀도함수와 누적분포함수는 다음과 같은 관계를 가진다.

F(x) = \begin{cases} \sum_{t \leq x} f(t), \ \text{이산형} \\ \int_{-\infty}^x f(t) dt, \ \text{연속형} \end{cases}

위 관계로부터 확률밀도함수를 다음과 같이 구할 수 있다.

f(x) = \begin{cases} F(x) - F(x^-), \text{이산형} \\ \frac d {dx} F(x), \text{연속형} \end{cases}

백분위수에 대한 개념은 표준화되지 않았다. $P(X \leq x) \geq p$ 를 만족하는 최솟값을 분위수로 정의하기도 하고, 중앙값의 경우에는 두 조건을 만족하는 값의 중간값으로 정의하기도 한다.

중앙값은 백분위수의 특수 사례이다.