이중지수 분포

이중지수(double exponential) 분포는 라플라스(Laplace) 분포라고도 부른다. 정규분포보다 꼬리 확률이 더 높은 분포로, 꼬리 확률이 큰 확률변수를 모델링할 때에 사용한다.

개관

항목	내용
기호	$X \sim DE(\alpha, \beta)$
지지 집합	$\mathbb{R}$
위치 모수	$-\infty < \alpha < \infty$
크기 모수	$\beta > 0$
활용	이상치가 많은 데이터, 신호처리의 잡음 모델과 같이 꼬리 확률이 큰 경우

확률밀도함수 유도¶

이중지수 분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.

f(x) = \frac 1 {2\beta} \exp(- \frac {|x - \alpha|}{\beta})

\begin{gathered} \mathbb E(X) = \alpha \\ Var(X) = 2\beta^2 \end{gathered}

두 확률변수 $X_1, X_2 \overset{iid}{\sim} \varepsilon(\lambda)$ 의 차이로 정의하는 확률변수 $Y = X_1 - X_2$ 는 $DE(0, \lambda)$ 를 따른다.

확률변수 $X \sim DE(\alpha, \beta)$ 에서 상수 $\alpha$ 를 뺀 절대값으로 정의하는 확률변수 $Y = |X-\alpha|$ 는 $\varepsilon(\beta)$ 를 따른다.

최대가능도법을 이용하면 위치 모수 $\alpha$ 의 추정량은 중간값이고, 크기 모수 $\beta$ 의 추정량은 $\frac 1 n \sum |x_i - \alpha|$ 이다.

연속형 균등 분포를 따르는 두 확률변수 $U, V \overset{iid}{\sim} U(0,1)$ 의 비율의 로그값으로 정의하는 확률변수 $X = \ln U V$ 는 $DE(0, 1)$ 를 따른다.

이때, $U, V$ 의 비율 크기를 조절하면 크기 모수를 바꿀 수 있다.