와이블(Weibull) 분포는 신뢰성 공학 부문에서 수명의 분포를 보여주는 분포로 활용된다. 형상 모수 α \alpha α
항목 내용 기호 X ∼ W e i b u l l ( λ , α ) X \sim Weibull(\lambda, \alpha) X ∼ W e ib u ll ( λ , α ) 척도 모수 λ > 0 \lambda > 0 λ > 0 형상 모수 α > 0 \alpha > 0 α > 0 지지집합 [ 0 , ∞ ) [0, \infty) [ 0 , ∞ ) 평균 1 λ 1 α Γ ( 1 + 1 α ) {\dfrac 1 \lambda}^{\frac 1 \alpha} \Gamma\left(1+\dfrac{1}{\alpha}\right) λ 1 α 1 Γ ( 1 + α 1 ) 분산 1 λ 2 α [ Γ ( 1 + 2 α ) − Γ ( 1 + 1 α ) 2 ] {\dfrac 1 \lambda}^{\frac 2 \alpha} \left[\Gamma \left( 1 + \dfrac{2}{\alpha} \right) - \Gamma \left( 1 + \dfrac{1}{\alpha} \right)^2 \right] λ 1 α 2 [ Γ ( 1 + α 2 ) − Γ ( 1 + α 1 ) 2 ] 활용 신뢰성 공학의 수명분석, 고장률이 시간에 따라 변하는 부품의 고장시간 모델링
확률밀도함수 ¶ λ α x α − 1 exp ( − λ x α ) \lambda \alpha x^{\alpha -1} \exp(-\lambda x^\alpha) λ α x α − 1 exp ( − λ x α ) 평균과 분산 ¶ 욕조 곡선 구간과 형상 모수의 구간 ¶ Figure 1: 이미지 생성 : GPT5.6Sol
α < 1 \alpha < 1 α < 1 X X X
α = 1 \alpha = 1 α = 1
α > 1 \alpha > 1 α > 1 α = 2 \alpha = 2 α = 2 α ≫ 1 \alpha \gg 1 α ≫ 1
척도 모수 정의 방법과 확률밀도함수 ¶ 척도 모수를 역수(1 λ \frac 1 \lambda λ 1
α x α − 1 λ α exp ( − ( x λ ) α ) \dfrac {\alpha x^{\alpha -1}} {\lambda^\alpha} \exp \left( - \left( \dfrac x \lambda \right)^\alpha \right) λ α α x α − 1 exp ( − ( λ x ) α ) 이 경우 평균과 분산은 다음과 같이 정의된다.
E ( X ) = λ Γ ( 1 + 1 α ) V a r ( X ) = λ 2 [ Γ ( 1 + 2 α ) − Γ ( 1 + 1 α ) 2 ] \mathbb E(X) = \lambda \Gamma\left(1+\dfrac{1}{\alpha}\right) \\
Var(X) = \lambda^2 \left[\Gamma \left( 1 + \dfrac{2}{\alpha} \right) - \Gamma \left( 1 + \dfrac{1}{\alpha} \right)^2 \right]
E ( X ) = λ Γ ( 1 + α 1 ) Va r ( X ) = λ 2 [ Γ ( 1 + α 2 ) − Γ ( 1 + α 1 ) 2 ] 확률밀도함수의 정의와 계산은 복잡해지지만 척도 모수의 해석이 직관과 부합해진다. 즉, 척도 모수가 커지면 제품의 수명이 늘어난다. 이 때문에 λ \lambda λ
삼모수 와이블 분포 ¶ 와이블 분포는 통상 이모수 형태로 활용하는데, 위치 모수 γ \gamma γ x ≥ γ x \geq \gamma x ≥ γ γ \gamma γ
다른 분포와의 관계 ¶ X ∼ ε ( λ ) X \sim \varepsilon(\lambda) X ∼ ε ( λ ) Y = X 1 α Y = X^{\frac 1 \alpha} Y = X α 1 Y ∼ W e i b u l l ( λ , α ) Y \sim Weibull (\lambda, \alpha) Y ∼ W e ib u ll ( λ , α )
