퀴즈 대체 과제 2

1. 집합¶

집합 $A, \ B, \ C$ 에 대해 다음 명제의 참, 거짓 여부를 판단하고, 참이면 증명하고 거짓이면 반례를 들어라.

(A \cap B) \subset (A \cap C) \Leftrightarrow B \subset C

함수 $f(x) = x^2$ 로 정의한다. $f$ 의 정의역과 공역이 각각,

f: \mathbb R \to \mathbb R

인 경우와,

f: [0, \infty) \to [0, \infty)

를 비교했을 때에 하나는 역함수를 가지고 다른 하나는 역함수를 가지지 않는 이유를 설명하라.

수열 $a_n = \{\frac {n+1} n\}$ 에 대해 다음 질문에 대한 답을 논하라.

(1) " $a_n$ 이 수렴한다"는 명제의 본질적인 의미는 무엇인가?

(2) $\forall \varepsilon >0$ 에 대해 $\exist N$ 에 대해 항상 $|a_n -1| < \varepsilon$ 이 됨을 보여라.

(3) (2)에서 $N$ 과 $\varepsilon$ 은 어떤 관계를 가지는가?

문제2의 함수 $f(x) = x^2$ 에 대하여,

(1) $x=2$ 근처에서 $f(x)$ 를 일차식으로 근사하면 어떻게 표현할 수 있는지를 뉴턴-랩슨 방법과 연결지어 설명하고,

(2) "미분 가능하다"라는 명제의 의미를 함수의 기하학적인 특성과 연결지어 설명하시오.

함수 $f(x) = x$ 에 대해,

\int_0^2 x dx

값을

(1) 그래프 아래의 넓이,

(2) 작언 변화량들의 누적합 두 가지 관점을 기준으로 구하고,

(3) 두 방법의 차이애 대해 논하시오.