10주차 강의 문제풀이

S9. 예제¶

$X|Y=y$ 의 조건부 확률밀도함수를 구하면 다음과 같다.

\begin{gathered} P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \cdots, X_n = x_n | Y=y) \\ \\ = \frac { P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \cdots, X_n = x_n, Y=y) } { P(Y=y) } \\ \\ = \frac {\theta^{\sum x_i}(1-\theta)^{n-\sum x_i}} {\binom n y \theta^y (1-\theta)^{n-y}}\\ \\ = \frac 1 {\binom n y} = \frac{(n-y)! y!}{n!} \end{gathered}

$X|Y=y$ 의 조건부 확률밀도함수가 $\theta$ 에 의존하지 않으므로 충분통계량의 정의에 따라 $Y = \sum X_i$ 는 모수 $\theta$ 에 대한 충분통계량이다. $\blacksquare$

$(X_1, X_2, \cdots , X_n)$ 의 결합확률밀도함수는 다음과 같다.

\begin{aligned} \prod_{i=1}^n f(x_i;\theta) &= \prod_{i=1}^n \theta^{x_i} (1-\theta)^{1-x_i} \\ &= \theta^{\sum x_i} (1-\theta)^{n-\sum x_i} \\ &= \underset{ = \theta^{\sum x_i} (1-\theta)^{n-\sum x_i}} {\boxed{g(\sum x_i ; \theta)}} \underset{=1}{\boxed{h(x_1, \cdots, x_n)}} \end{aligned}

따라서, 분해정리에 의해 통계량 $Y = \sum X_i$ 는 모수 $\theta$ 에 대한 충분통계량이다. $\blacksquare$

(1) 충분성 증명

지수족의 밀도함수를 아래와 같이 정리할 수 있다.

\begin{aligned} f(x;\theta) &= S(x) \underset{Y=T_j(x)\text{를 통해 }\theta, \ x\text{가 연결}}{\boxed{d(\theta) \exp \big(\sum c_j(\theta) T_j(x) \big)}}\\ &= S(x)b_{\theta}(y) \end{aligned}